Die Milch leicht erwärmen, dann 1 EL vom Zucker einrühren und die Hefe hineinbröckeln. 5 Minuten beiseite stellen, dann gut verrühren.

In der Zwischenzeit Mehl, restlichen Zucker, Salz, Ei, Quark und Öl in dieser Reihenfolge in eine Rührschüssel oder die Schüssel der Küchenmaschine geben. Mit den Knethaken des Handrührgeräts oder der Küchenmaschine alles etwa 10 Minuten lang zu einem geschmeidigen Teig verkneten. Die Schüssel mit einem feuchten Geschirrtuch abdecken und den Hefeteig an einem warmen Ort 1-1,5 Stunden gehen lassen, bis der Teig merklich aufgegangen ist.

In der Zwischenzeit die Mohnfüllung zubereiten. Dafür Butter und Milch in einen Topf geben und einmal aufkochen. Gut verrühren, dann Mohn, Zucker und Vanillezucker hinzufügen und gründlich einrühren. Vom Herd nehmen und abkühlen lassen.

Nachdem der Teig aufgegangen ist, nochmal auf der leicht bemehlten Arbeitsfläche durchkneten und in 10 gleich große Teile teilen. Jedes Teigstück zu einem etwa 3 mm dicken Rechteck ausrollen. Ungefähr 1 EL der Mohnfüllung (1/10 der Gesamtmenge) darauf geben und gleichmäßig verstreichen. Das Rechteck dann von der langen Seite her fest aufrollen. Etwa 2 cm an einem Ende der Teigrolle ganz lassen, die restliche Teigrolle der Länge nach durchschneiden, so dass zwei miteinander verbundene Teigstränge entstehen. Diese nun mehrfach umeinander wickeln und anschließend zu einer Schnecke formen. Die Enden gut zusammendrücken, damit sich der Teig verbindet.

Zwei Backbleche mit Backpapier auslegen. Alle Teigstücke zu Mohnschnecken verarbeiten und mit ausreichend Abstand zueinander auf die vorbereitenen Bleche geben. Die Schnecken mit einem sauberen Geschirrtuch abdecken und nochmal 30 Minuten gehen lassen.

Den Backofen auf 190 °C Ober- und Unterhitze vorheizen. 1 Ei mit 1 EL Milch und jeweils einer Prise Salz und Zucker verquirlen und die Schnecken damit bestreichen. Das erste Blech ins untere Drittel des vorgeheizten Ofens einschieben und die Mohnschnecken etwa 15-17 Minuten goldgelb backen. Danach die zweite Ladung Mohnschnecken genauso backen.

Danach auf dem Blech auf einem Kuchengitter 10 Minuten abkühlen lassen. In der Zwischenzeit für die Glasur den gesiebten Puderzucker mit den restlichen 3 EL Milch gut verrühren und über die noch warmen Mohnschnecken träufeln. Lauwarm oder abgekühlt servieren.